Matemática básica Ejemplos

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} - \frac{t + 5}{t^{2} + 3 t + 2}$

Paso 1

Factoriza $t^{2} + 3 t + 2$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)}$ .

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} \cdot \frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$ .

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} \cdot \frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(t^{2} - t - 6) (t + 1) (t + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6}$ por $\frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)}$ .

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$ por $\frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$ .

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))} - \frac{(t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))$ .

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)} - \frac{(t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6

Reescribe $\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$ en forma factorizada.

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Paso 6.1

Expande $(t + 1) (t + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(t - 10) (t (t + 2) + 1 (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(t - 10) (t \cdot t + t \cdot 2 + 1 (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(t - 10) (t \cdot t + t \cdot 2 + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + t \cdot 2 + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + t + 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.2.2

Suma $2 t$ y $t$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 3 t + 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.3

Expande $(t - 10) (t^{2} + 3 t + 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{t \cdot t^{2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 6.4.1.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{1} t^{2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{1 + 2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.4.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{t^{3} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{t^{3} + 3 t \cdot t + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.4.3

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.3.1

Mueve $t$ .

$\frac{t^{3} + 3 (t \cdot t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.4.3.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.4.4

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.4.5

Multiplica $3$ por $- 10$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 30 t - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.4.6

Multiplica $- 10$ por $2$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 30 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.5

Resta $10 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} + 2 t - 30 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.6

Resta $30 t$ de $2 t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 + (- t - 1 \cdot 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 + (- t - 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.9

Expande $(- t - 5) (t^{2} - t - 6)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t \cdot t^{2} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10

Simplifica cada término.

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Paso 6.10.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.10.1.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t^{2} t) - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 6.10.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t^{2} t^{1}) - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{2 + 1} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 t \cdot t - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.3

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 6.10.3.1

Mueve $t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 (t \cdot t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.3.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + 1 t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.5

Multiplica $t^{2}$ por $1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.6

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.7

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} + 5 t - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.10.8

Multiplica $- 5$ por $- 6$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} + 5 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.11

Resta $5 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 4 t^{2} + 6 t + 5 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.12

Suma $6 t$ y $5 t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.13

Resta $t^{3}$ de $t^{3}$ .

$\frac{- 7 t^{2} - 28 t - 20 + 0 - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.14

Suma $- 7 t^{2}$ y $0$ .

$\frac{- 7 t^{2} - 28 t - 20 - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.15

Resta $4 t^{2}$ de $- 7 t^{2}$ .

$\frac{- 11 t^{2} - 28 t - 20 + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.16

Suma $- 28 t$ y $11 t$ .

$\frac{- 11 t^{2} - 17 t - 20 + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.17

Suma $- 20$ y $30$ .

$\frac{- 11 t^{2} - 17 t + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18

Reescribe $- 11 t^{2} - 17 t + 10$ en forma factorizada.

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Paso 6.18.1

Factoriza $- 1$ de $- 11 t^{2} - 17 t + 10$ .

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Paso 6.18.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 11 t^{2}$ .

$\frac{- (11 t^{2}) - 17 t + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 17 t$ .

$\frac{- (11 t^{2}) - (17 t) + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.1.3

Reescribe $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (11 t^{2}) - (17 t) - 1 (- 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (11 t^{2}) - (17 t)$ .

$\frac{- (11 t^{2} + 17 t) - 1 (- 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (11 t^{2} + 17 t) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (11 t^{2} + 17 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.2

Factoriza.

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Paso 6.18.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.18.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 11 \cdot - 10 = - 110$ y cuya suma es $b = 17$ .

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Paso 6.18.2.1.1.1

Factoriza $17$ de $17 t$ .

$\frac{- (11 t^{2} + 17 (t) - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.2.1.1.2

Reescribe $17$ como $- 5$ más $22$

$\frac{- (11 t^{2} + (- 5 + 22) t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- (11 t^{2} - 5 t + 22 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.18.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{- ((11 t^{2} - 5 t) + 22 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{- (t (11 t - 5) + 2 (11 t - 5))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $11 t - 5$ .

$\frac{- ((11 t - 5) (t + 2))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.18.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Paso 6.19

Factoriza.

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Paso 6.19.1

Factoriza $t^{2} - t - 6$ con el método AC.

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Paso 6.19.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 6.19.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) ((t - 3) (t + 2))}$

Paso 6.19.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) (t - 3) (t + 2)}$

Paso 6.20

Combina exponentes.

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Paso 6.20.1

Eleva $t + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) ({(t + 2)}^{1} (t + 2)) (t - 3)}$

Paso 6.20.2

Eleva $t + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{1}) (t - 3)}$

Paso 6.20.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{1 + 1} (t - 3)}$

Paso 6.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$

Paso 6.21

Reduce la expresión $\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.21.1

Factoriza $t + 2$ de $- (11 t - 5) (t + 2)$ .

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$

Paso 6.21.2

Factoriza $t + 2$ de $(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)$ .

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 2) (((t + 1) (t + 2)) (t - 3))}$

Paso 6.21.3

Cancela el factor común.

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 2) (((t + 1) (t + 2)) (t - 3))}$

Paso 6.21.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- (11 t - 5)}{((t + 1) (t + 2)) (t - 3)}$